p.4 | 公開日：2026/7/30
4. 超対称ゲージ理論
<p>前章までで、超対称代数とその表現がわかり、超対称性が粒子のスペクトルをどのように制約するかも見ました。
ここからは、超対称性が粒子の相互作用にどう影響するかを知るために、超対称な場の理論を構成する方法――超空間・超場の形式――を議論します。
簡単のため、まず$\mathcal{N}=1$の場合を考えます。</p>
<h2>4.1 超空間</h2>
<p>4元運動量演算子$P_\mu$が時空座標$x^\mu$の並進の生成子であるのと同じように、supercharge $Q_\alpha,\bar Q_{\dot\alpha}$は4つのGrassmann奇な数――超空間座標$\theta^\alpha,\bar\theta_{\dot\alpha}$――の並進の生成子とみなせます。
これらは互いに反可換で、$x^\mu$やボソン場とは可換です。
\begin{align}
\{\theta^\alpha,\theta^\beta\}=\{\bar\theta_{\dot\alpha},\bar\theta_{\dot\beta}\}=\{\theta^\alpha,\bar\theta_{\dot\beta}\}=0.
\end{align}
以下では縮約の記法として
\begin{align}
\theta\theta=\theta^\alpha\theta_\alpha,\qquad \bar\theta\bar\theta=\bar\theta_{\dot\alpha}\bar\theta^{\dot\alpha},\qquad
\theta\sigma^\mu\bar\theta=\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\bar\theta^{\dot\alpha}
\end{align}
を用います。$\theta,\bar\theta$についての積分は
\begin{align}
\int d^2\theta\,\theta\theta=\int d^2\bar\theta\,\bar\theta\bar\theta=\int d^4\theta\,\theta\theta\bar\theta\bar\theta=1
\end{align}
と定義します。</p>
<p>超対称変換の群の元を$G(x,\theta,\bar\theta)=\exp\{i(-x^\mu P_\mu+\theta Q+\bar\theta\bar Q)\}$と定義し、Baker-Campbell-Hausdorffの公式を用いて二つの元の積$G(0,\xi,\bar\xi)G(x,\theta,\bar\theta)$を計算すると、超対称変換のもとで超空間は
\begin{align}
x^\mu &\to x^\mu+i\theta\sigma^\mu\bar\xi-i\xi\sigma^\mu\bar\theta, \\
\theta &\to \theta+\xi, \qquad \bar\theta\to\bar\theta+\bar\xi
\end{align}
と変換することがわかります。これにより、超空間上に作用する超対称代数の表現を微分演算子として
\begin{align}
Q_\alpha &=\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha}-i\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\bar\theta^{\dot\alpha}\partial_\mu, \\
\bar Q_{\dot\alpha} &=-\frac{\partial}{\partial\bar\theta^{\dot\alpha}}+i\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\partial_\mu
\end{align}
と得ることができます。これらは
\begin{align}
\{Q_\alpha,\bar Q_{\dot\beta}\}=2i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\partial_\mu, \qquad \{Q_\alpha,Q_\beta\}=\{\bar Q_{\dot\alpha},\bar Q_{\dot\beta}\}=0
\end{align}
を満たし、$P_\mu\to i\partial_\mu$と同定すれば式\eqref{eq:algebra1}を$\mathcal{N}=1,\,Z=0$の場合として再現します。この$Q$で生成される変換のもとで不変な理論を超対称な理論と呼びます。</p>
<p>さらに超対称変換の既約表現を作るために、超空間の微分演算子である超共変微分$D_\alpha,\bar D_{\dot\alpha}$を導入します。
\begin{align}
D_\alpha &=\frac{\partial}{\partial\theta^\alpha}+i\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\bar\theta^{\dot\alpha}\partial_\mu, \\
\bar D_{\dot\alpha} &=-\frac{\partial}{\partial\bar\theta^{\dot\alpha}}-i\theta^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\partial_\mu.
\end{align}
これらは$\{D_\alpha,\bar D_{\dot\beta}\}=-2i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\partial_\mu$を満たします。また$Q,\bar Q$とは運動量項の相対符号だけが異なるため、
\begin{align}
\{D_\alpha,Q_\beta\}=\{D_\alpha,\bar Q_{\dot\beta}\}=\{\bar D_{\dot\alpha},Q_\beta\}=\{\bar D_{\dot\alpha},\bar Q_{\dot\beta}\}=0
\end{align}
が成り立ちます。すなわち$D,\bar D$による拘束条件は超対称変換と両立し、超場に課すことができます。</p>
<h2>4.2 超場とその拘束条件</h2>
<p>超場$F(x,\theta,\bar\theta)$は$\theta,\bar\theta$のべき級数展開として書けます。
\begin{align}
F(x,\theta,\bar\theta)=&f(x)+\theta\varphi(x)+\bar\theta\bar\chi(x)+\theta\theta\,m(x)+\bar\theta\bar\theta\,n(x) \notag\\
&+\theta\sigma^\mu\bar\theta\,v_\mu(x)+\theta\theta\bar\theta\bar\lambda(x)+\bar\theta\bar\theta\theta\,\rho(x)+\theta\theta\bar\theta\bar\theta\,d(x).
\end{align}
$\theta,\bar\theta$は反交換するのでこれより高次の項は消えます。超対称変換のもとでの無限小変換は$\delta_\xi F=(\xi Q+\bar\xi\bar Q)F$となります。
この超場は超対称変換の既約表現にはならないため、より少ない場で代数が閉じた理論を作るには超場に制限を加える必要があります。
代表的な方法がカイラル超場とベクトル超場です。</p>
<h2>4.3 カイラル超場</h2>
<p>条件
\begin{align}
\bar D_{\dot\alpha}\Phi=0 \label{eq:chiral}
\end{align}
を満たす超場$\Phi$をカイラル超場と呼びます。カイラル座標$y^\mu=x^\mu+i\theta\sigma^\mu\bar\theta$は$\bar D_{\dot\alpha}y^\mu=\bar D_{\dot\alpha}\theta=0$を満たすので、これらを変数とする任意の関数は条件\eqref{eq:chiral}を自動的に満たします。
\begin{align}
\Phi(y,\theta)=\phi(y)+\sqrt2\,\theta\psi(y)+\theta\theta\,F(y).
\end{align}
$\Phi$が物質場のmultipletとして作用するならば、$\phi$はスカラー場、$\psi$はフェルミオン場、$F$は補助場です。反カイラル超場$\Phi^\dagger$は$D_\alpha\Phi^\dagger=0$を満たし、$\Phi$の複素共役として展開できます。</p>
<p>カイラル超場のみからなる正則関数$\mathcal{W}(\Phi_i)$もまたカイラル超場であり、その$\theta\theta$の項（F項）は
\begin{align}
\int d^2\theta\,\mathcal{W}(\Phi_i)=\frac{\partial\mathcal{W}}{\partial\phi_i}F_i-\frac12\frac{\partial^2\mathcal{W}}{\partial\phi_i\partial\phi_j}\psi_i\psi_j
\end{align}
となります。この$\mathcal{W}$を超ポテンシャル(superpotential)と呼びます。
一方、カイラル超場と反カイラル超場の両方から作られる実関数$K(\Phi_i,\Phi_i^\dagger)$をケーラーポテンシャルと呼び、その$\theta\theta\bar\theta\bar\theta$の項（D項）が物質場の運動項を与えます。
超場のF項およびD項は、超対称変換のもとでいずれも全微分だけ変化します。したがってこれらを時空で積分した量は超対称不変であり、作用の候補となります。</p>
<h2>4.4 ベクトル超場</h2>
<p>条件
\begin{align}
V=V^\dagger
\end{align}
を満たす超場$V$をベクトル超場と呼びます。展開すると
\begin{align}
V(x,\theta,\bar\theta)=&\,C(x)+i\theta\chi(x)-i\bar\theta\bar\chi(x) +\frac{i}{2}\theta\theta[M(x)+iN(x)]-\frac{i}{2}\bar\theta\bar\theta[M(x)-iN(x)] \notag\\
&-\theta\sigma^\mu\bar\theta A_\mu(x) +i\theta\theta\bar\theta\Bigl[\bar\lambda(x)+\tfrac{i}{2}\bar\sigma^\mu\partial_\mu\chi(x)\Bigr] \notag\\
&-i\bar\theta\bar\theta\theta\Bigl[\lambda(x)+\tfrac{i}{2}\sigma^\mu\partial_\mu\bar\chi(x)\Bigr]+\frac12\theta\theta\bar\theta\bar\theta\Bigl[D(x)+\tfrac12\partial_\mu\partial^\mu C(x)\Bigr]
\end{align}
となり、成分場$C,D,M,N$は実数、$A_\mu$はベクトル場です。カイラル超場$\Lambda$を用いた超対称ゲージ変換
\begin{align}
V\to V+i(\Lambda-\Lambda^\dagger)
\end{align}
のもとで$A_\mu$は通常のゲージ変換を受け、$\lambda,D$は不変です。$\lambda$はゲージーノ、$D$は補助場とみなせます。</p>
<p>このゲージ自由度を用いて$C=\chi=M=N=0$とおくことができ、これをWess-Zuminoゲージと呼びます。
このゲージは超対称変換では保たれず、超対称変換の後にゲージ変換を伴って元に戻す必要がある点に注意してください。</p>
<p>Abelian field strengthは
\begin{align}
W_\alpha=-\frac14\bar D\bar D D_\alpha V
\end{align}
で定義され、$\bar D_{\dot\beta}W_\alpha=0$よりカイラルであり、またゲージ不変です。Wess-Zuminoゲージで成分に展開すると
\begin{align}
W_\alpha=-i\lambda_\alpha(y)+\theta_\alpha D-\frac{i}{2}(\sigma^\mu\bar\sigma^\nu\theta)_\alpha F_{\mu\nu}+\theta\theta(\sigma^\mu\partial_\mu\bar\lambda)_\alpha
\end{align}
となります。非可換ゲージ理論では$V=V_AT^A$がゲージ群の随伴表現に属し、field strengthは
\begin{align}
W_\alpha=-\frac14\bar D\bar D\bigl(e^{-2V}D_\alpha e^{2V}\bigr)
\end{align}
で定義されます。ゲージ変換は
\begin{align}
e^{2V}\to e^{-2i\Lambda^\dagger}e^{2V}e^{2i\Lambda}
\end{align}
であり、このもとで$W_\alpha\to e^{-2i\Lambda}W_\alpha e^{2i\Lambda}$と共変的に変換します。Wess-Zuminoゲージでは
\begin{align}
W_\alpha=-i\lambda_\alpha(y)+\theta_\alpha D-\frac{i}{2}(\sigma^\mu\bar\sigma^\nu\theta)_\alpha F_{\mu\nu}+\theta\theta(\sigma^\mu D_\mu\bar\lambda)_\alpha
\end{align}
となり、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-i[A_\mu,A_\nu]$は非可換field strength、$D_\mu$はゲージ共変微分です。</p>
<h2>4.5 $\mathcal{N}=1$超対称ラグランジアン</h2>
<p>前節までに述べたように、カイラル超場のF項と、カイラル・反カイラル超場から作られる実超場のD項は、いずれも超対称変換のもとで全微分だけ変化します。したがって超対称ラグランジアンは
\begin{align}
\mathcal{L}=\int d^2\theta\,\mathcal{W}(\Phi)+\int d^2\bar\theta\,\bar{\mathcal{W}}(\Phi^\dagger)+\int d^4\theta\,K(\Phi,\Phi^\dagger)
\end{align}
と構成できます。ここでくりこみ可能性を要求してみましょう。$[\theta]=-\frac12$ですので$[d^2\theta]=1$、$[d^4\theta]=2$であり、$[\Phi]=1$です。したがって$[\mathcal{W}]\leq3$、$[K]\leq2$が要求され、超ポテンシャル$\mathcal{W}$は$\Phi_i$について高々3次の多項式、ケーラーポテンシャル$K$は
\begin{align}
K(\Phi,\Phi^\dagger)=g_{i\bar j}\,\Phi_i^\dagger\Phi_j
\end{align}
という2次形式でなければならないことがわかります。ここで$g_{i\bar j}=\partial^2K/\partial\Phi_i\partial\Phi_j^\dagger$はケーラー計量であり、くりこみ可能な場合には定数行列ですので、場の再定義によって$g_{i\bar j}=\delta_{i\bar j}$ととることができます。このとき超ポテンシャルを含めなければ
\begin{align}
\mathcal{L}=\int d^4\theta\,\Phi_i^\dagger\Phi_i=-\partial_\mu\phi_i^\dagger\partial^\mu\phi_i+F_i^\dagger F_i-i\bar\psi_i\bar\sigma^\mu\partial_\mu\psi_i
\end{align}
というmasslessスカラー場とフェルミオン場の自由ラグランジアンを与えます。</p>
<p>ゲージ場については、$\vartheta$角と結合定数$g$を組み合わせた複素結合定数
\begin{align}
\tau=\frac{\vartheta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}
\end{align}
を導入すると、
\begin{align}
\mathcal{L}&=\frac{1}{8\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\tau\,\mathrm{Tr}\int d^2\theta\,W^\alpha W_\alpha\Bigr) \notag \\
&=\mathrm{Tr}\Bigl[-\frac{1}{4g^2}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{\vartheta}{32\pi^2}F_{\mu\nu}F^{*\mu\nu}+\frac{1}{g^2}\Bigl(-i\lambda\sigma^\mu D_\mu\bar\lambda+\frac12DD\Bigr)\Bigr]
\end{align}
が得られます。この形では結合定数$g$と$\vartheta$角が一つの複素パラメーター$\tau$にまとめられており、$\mathcal{N}=2$理論やSeiberg-Witten理論で本質的な役割を果たします。</p>
<p>カイラル超場$\Phi$をゲージ群の表現に属させ、$\Phi\to e^{-2i\Lambda}\Phi$と変換させると、ゲージ不変な運動項$\Phi^\dagger e^{2V}\Phi$が得られ、これが物質場とゲージ場の相互作用を与えます。これらをまとめると、$\mathcal{N}=1$超対称ラグランジアンは
\begin{align}
\mathcal{L}=&\frac{1}{8\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\tau\,\mathrm{Tr}\int d^2\theta\,W^\alpha W_\alpha\Bigr)+\int d^4\theta\,\Phi^\dagger e^{2V}\Phi+\int d^2\theta\,\mathcal{W}+\int d^2\bar\theta\,\bar{\mathcal{W}}
\end{align}
と書けます。なお上式の物質場の運動項は、$\Phi$が基本表現などゲージ場と異なる表現に属する場合の正準規格化された形です。$\Phi$が随伴表現に属する場合には、次章で見るように$\tau$を伴った
\begin{align}
\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\tau\,\mathrm{Tr}\int d^4\theta\,\Phi^\dagger e^{2V}\Phi\Bigr)
\end{align}
という形をとり、ゲージ場と同じ$1/g^2$が前に現れます。</p>
<p>補助場$F,D$は運動方程式によって消去でき、これよりスカラーポテンシャルは
\begin{align}
V_{\rm scalar}=\sum_i\Bigl|\frac{\partial\mathcal{W}}{\partial\phi_i}\Bigr|^2+\frac{g^2}{2}\sum_a(\phi^\dagger T^a\phi)^2
\end{align}
で与えられます。第一項をF項ポテンシャル、第二項をD項ポテンシャルと呼びます。$V_{\rm scalar}\geq0$であり、等号が成立する配位が超対称性の破れていない真空に対応します。</p>