5. $\mathcal{N}=2$超対称ゲージ理論

<h2>5.1 $\mathcal{N}=2$超空間と超場</h2> <p>$\mathcal{N}=2$超対称性のmassless表現を成分として書くと、vector multipletはゲージ場$A_\mu$・Weylスピノル$\lambda,\psi$・複素スカラー$\phi$からなり、hypermultipletはWeylスピノル$\psi_q,\psi^\dagger_{\tilde q}$・複素スカラー$q,\tilde q^\dagger$からなります。これらは$\mathcal{N}=1$の言葉では \begin{align*} \text{vector multiplet} &= (A_\mu,\lambda)\oplus(\phi,\psi) \quad\text{(vector multiplet + chiral multiplet)}\\ \text{hypermultiplet} &= (q,\psi_q)\oplus(\tilde q^\dagger,\psi^\dagger_{\tilde q}) \quad\text{(two chiral multiplet)} \end{align*} と整理できます。</p> <p>この構造を超場の言葉で実現するために、$\mathcal{N}=1$超空間$\theta_\alpha,\bar\theta_{\dot\alpha}$に独立な超対称性の数を表す添字$I(I=1,2)$を加えた$\mathcal{N}=2$超空間$\theta_{\alpha I}=(\theta_{\alpha1},\theta_{\alpha2})$、$\bar\theta_{\dot\alpha}^J=(\bar\theta_{\dot\alpha}^1,\bar\theta_{\dot\alpha}^2)$を導入します。$\mathcal{N}=2$超共変微分は \begin{align} D_\alpha^I=\frac{\partial}{\partial\theta_I^\alpha}+i\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\bar\theta^{\dot\alpha I}\partial_\mu, \qquad \bar D_{\dot\alpha I}=-\frac{\partial}{\partial\bar\theta^{\dot\alpha I}}-i\theta_I^\alpha\sigma^\mu_{\alpha\dot\alpha}\partial_\mu \end{align} と定義されます。$\mathcal{N}=2$カイラル超場$\Psi$は \begin{align} \bar D_{\dot\alpha I}\Psi=0 \end{align} で定義されますが、これだけでは既約にならないため、さらに実性条件 \begin{align} D^{\alpha(I}D_\alpha^{J)}\Psi=\bar D_{\dot\alpha}^{(I}\bar D^{\dot\alpha J)}\bar\Psi \end{align} を課して場の自由度を減らします。この条件のもとで$\Psi$を$\theta_2$について展開すると \begin{align} \Psi(y,\theta)=\Psi^{(1)}(y,\theta_1)+\sqrt2\,\theta_2^\alpha\Psi^{(2)}_\alpha(y,\theta_1)+\theta_2^\alpha\theta_{2\alpha}\Psi^{(3)}(y,\theta_1) \end{align} となります（$y^\mu=x^\mu+i\theta_1\sigma^\mu\bar\theta_1+i\theta_2\sigma^\mu\bar\theta_2$）。上の実性条件のもと、これらの成分は$\mathcal{N}=1$の言葉で \begin{align} \Psi^{(1)}=\Phi(y,\theta_1), \qquad \Psi^{(2)}_\alpha=W_\alpha(y,\theta_1), \qquad \Psi^{(3)}=\int d^2\bar\theta_1\,\Phi^\dagger e^{2V} \end{align} と同定でき、$\Psi$の成分場はちょうど$\mathcal{N}=2$ vector multipletの成分場と一致します。すなわち$\mathcal{N}=2$ vector multipletは、$\mathcal{N}=1$のカイラル超場$\Phi$とベクトル超場$V$（の field strength $W_\alpha$）を一つの$\mathcal{N}=2$超場にまとめたものになっています。ここで$\Phi$も$W_\alpha$もともにゲージ群の随伴表現に属することに注意してください。</p> <h2>5.2 $\mathcal{N}=2$ラグランジアンとプレポテンシャル</h2> <p>この$\mathcal{N}=2$カイラル超場$\Psi$を用いると、pure $\mathcal{N}=2$超対称ラグランジアンは下記のように書けます。 \begin{align} \mathcal{L}=\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\,\mathrm{Tr}\int d^2\theta_1d^2\theta_2\,\frac12\tau\Psi^2. \end{align} ここで$\tau$は前章で導入した複素結合定数であり、$\mathcal{N}=2$では単一の$\Psi$の関数としてラグランジアン全体が書けてしまう点が特徴的です。 より一般に、$\Psi$の任意の正則関数$\mathcal{F}(\Psi)$を用いれば \begin{align} \mathcal{L}&=\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\,\mathrm{Tr}\int d^2\theta_1d^2\theta_2\,\mathcal{F}(\Psi) \notag \\ &=\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\frac{1}{2} \int d^2\theta_1\,\frac{\partial^2\mathcal{F}(\Phi)}{\partial\Phi^a\partial\Phi^b}W^{a\alpha}W^b_\alpha+\int d^4\theta_1\,(\Phi^\dagger e^{2V})^a\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\Phi^a}\Bigr) \end{align} という最も一般的な$\mathcal{N}=2$超対称ラグランジアンが得られます。関数$\mathcal{F}$は$\mathcal{N}=2$プレポテンシャルと呼ばれ、pure $\mathcal{N}=2$理論のすべての情報はこの一つの正則関数$\mathcal{F}$に詰め込まれています。$\mathcal{F}=\frac12\tau\Psi^2$がその最も簡単な場合であり、このとき$\partial^2\mathcal{F}/\partial\Phi^a\partial\Phi^b=\tau\delta^{ab}$となって上の式に帰着します。 また第二項が前章で述べた随伴表現の物質場の運動項にあたり、$\mathcal{F}=\frac{1}{2}\tau\Psi^2$のとき確かに$\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}(\tau\int d^4\theta\,\Phi^\dagger e^{2V}\Phi)$の形になっていることが確認できます。</p> <p>ケーラーポテンシャルは \begin{align} K(\Phi,\Phi^\dagger)=\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\Phi^{\dagger a}\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\Phi^a}\Bigr) \end{align} と読み取れ、場$\Phi$の空間の計量（ケーラー計量）は \begin{align} g_{a\bar b}=\frac{\partial^2K}{\partial\Phi^a\partial\Phi^{\dagger b}}=\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\Bigl(\frac{\partial^2\mathcal{F}(\Phi)}{\partial\Phi^a\partial\Phi^b}\Bigr) \end{align} となります。$\mathcal{N}=1$の場合とは異なり、ケーラーポテンシャルが超ポテンシャルと同じ正則関数$\mathcal{F}$から決まってしまう点が$\mathcal{N}=2$超対称性の強い制約です。</p> <p>実際に$\mathcal{F}=\frac12\tau\Psi^2$として$\mathcal{N}=1$の言葉に展開すると、pure $\mathcal{N}=2$ Yang-Mills理論のラグランジアンになります。 \begin{align} \mathcal{L}=&\frac{1}{4\pi}\mathrm{Im}\,\mathrm{Tr}\Bigl[\tau\Bigl( \frac{1}{2} \int d^2\theta\,W^\alpha W_\alpha+\int d^4\theta\,\Phi^\dagger e^{2V}\Phi\Bigr)\Bigr] \notag\\ =&\frac{1}{g^2}\mathrm{Tr}\Bigl[-\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+\frac{\vartheta g^2}{32\pi^2}F_{\mu\nu}F^{*\mu\nu}-(D_\mu\phi)^\dagger D^\mu\phi-i\lambda\sigma^\mu D_\mu\bar\lambda-i\bar\psi\bar\sigma^\mu D_\mu\psi \notag\\ &-i\sqrt2[\lambda,\psi]\phi^\dagger+i\sqrt2[\bar\lambda,\bar\psi]\phi-\frac12[\phi^\dagger,\phi]^2\Bigr]. \end{align} ここからスカラーポテンシャルは \begin{align} V_{\rm scalar}=\frac{1}{2g^2}\mathrm{Tr}[\phi^\dagger,\phi]^2 \end{align} となります。$[\phi^\dagger,\phi]$はエルミートですので$\mathrm{Tr}[\phi^\dagger,\phi]^2=\sum_{i,j}|[\phi^\dagger,\phi]_{ij}|^2\geq0$であり、確かに$V_{\rm scalar}\geq0$が成り立っています。</p> <p>$V_{\rm scalar}=0$となる条件は$[\phi^\dagger,\phi]=0$、すなわち$\phi$がゲージ群のCartan部分代数に値をとることです。この条件はゲージ変換で移り合う配位を同一視したうえでも連続な自由度を残し、真空のモジュライ空間をなします。この点が、孤立した最小値を持つ標準模型のHiggsポテンシャルとの決定的な違いです。 $\langle\phi\rangle\neq0$のとき、Higgs機構によってランク$r$のゲージ群$G$は一般に$U(1)^r$へと破れ、Cartan方向以外のゲージボソンは質量を持ちます。低エネルギーで$r$個の$U(1)$ゲージ場が残ることから、この分枝はCoulomb branchと呼ばれます。Coulomb branch上の低エネルギー有効理論を、その正則性と双対性を用いて厳密に決定したものがSeiberg-Witten理論[<a href="#cite-2" class="latex-cite-link">2</a>][<a href="#cite-3" class="latex-cite-link">3</a>]です。そこでは有効理論のプレポテンシャル$\mathcal{F}$、あるいは同じことですが有効結合定数$\tau_{\rm eff}=\partial^2\mathcal{F}/\partial\Phi^2$が、モジュライ空間上の正則関数として厳密に求められます。</p> <h2>5.3 物質場とhypermultiplet</h2> <p>物質場を含める場合、物質場とゲージ場はゲージ群のそれぞれ異なる表現で変換するため同じmultipletにはまとめられず、物質場は$\mathcal{N}=2$ hypermultipletとして構成されます。これは2つの$\mathcal{N}=1$ chiral multipletで書き下すことができ、$(q,\psi_q)$が入ったカイラル超場を$Q$、$(\tilde q,\psi_{\tilde q})$が入ったカイラル超場を$\tilde Q$とすると、$Q$はゲージ群$SU(N_c)$の基本表現$N_c$、$\tilde Q$は反基本表現$\overline{N_c}$のもとで変換します。$\mathcal{N}=2$ vector multipletと相互作用するhypermultipletのラグランジアンは、$\mathcal{N}=1$の言葉で \begin{align} \mathcal{L}_{\rm matter}=\int d^4\theta\,\bigl(Q_i^\dagger e^{2V}Q_i+\tilde Q_i e^{-2V}\tilde Q_i^\dagger\bigr)+\int d^2\theta\,\bigl(\sqrt2\,\tilde Q_i\Phi Q_i+m_i\tilde Q_iQ_i\bigr)+\text{h.c.} \end{align} と書けます（$i=1,\dots,N_f$は物質場のflavour添字、$m_i$は質量）。基本表現の場ですので、前章で述べたとおりここでは運動項は正準規格化されており、$\tau$は現れません。 また超ポテンシャルの第一項の係数$\sqrt2$は自由には選べず、$\mathcal{N}=2$超対称性によってゲージ結合と関係づけられて決まっている点が重要です。 これをQCDとして見ると、質量$m_i$がすべて等しいとき、この理論は大域的なflavour対称性$U(N_f)$のもとで不変になります。</p> <h2>5.4 R対称性の作用</h2> <p>$\mathcal{N}=2$超対称性のR対称性は$U(2)_R\sim SU(2)_R\times U(1)_R$です。$SU(2)_R$のCartan部分群――つまり$\sigma_3$で生成される部分群――を$U(1)_J$とすると、supercharge $Q_{\alpha I}$と超空間座標$\theta_I$は \begin{align*} U(1)_J:&\quad Q_{\alpha1}\to e^{i\alpha}Q_{\alpha1},\ \ Q_{\alpha2}\to e^{-i\alpha}Q_{\alpha2}, \qquad \theta_1\to e^{-i\alpha}\theta_1,\ \ \theta_2\to e^{i\alpha}\theta_2 \\ U(1)_R:&\quad Q_{\alpha I}\to e^{i\alpha}Q_{\alpha I}, \qquad \theta_I\to e^{-i\alpha}\theta_I \end{align*} と変換します（$U(1)_J$は$\sigma_3$で生成されるため、$Q_1,Q_2$および$\theta_1,\theta_2$の変換は互いに逆の位相になります）。この変換に対して不変なラグランジアンを構成するため、$\mathcal{N}=2$ vector multipletを構成するsuperfield $W_\alpha$、カイラル超場$\Phi$は \begin{align*} U(1)_J:&\quad \Phi\to\Phi(e^{-i\alpha}\theta), \qquad W_\alpha\to e^{i\alpha}W_\alpha(e^{-i\alpha}\theta) \\ U(1)_R:&\quad \Phi\to e^{2i\alpha}\Phi(e^{-i\alpha}\theta), \qquad W_\alpha\to e^{i\alpha}W_\alpha(e^{-i\alpha}\theta) \end{align*} と変換し、$\mathcal{N}=2$ hypermultipletを構成するカイラル超場$Q,\tilde Q$は \begin{align*} U(1)_J:&\quad Q\to e^{i\alpha}Q(e^{-i\alpha}\theta), \qquad \tilde Q\to e^{i\alpha}\tilde Q(e^{-i\alpha}\theta) \\ U(1)_R:&\quad Q\to Q(e^{-i\alpha}\theta), \qquad \tilde Q\to \tilde Q(e^{-i\alpha}\theta) \end{align*} と変換しなければなりません。成分場では、超場の展開の各次数を読み取ることで以下のように変換することがわかります。</p> <p>vector multiplet: \begin{align*} U(1)_J:&\quad (A_\mu,\lambda,\psi,\phi)\to(A_\mu,\ e^{i\alpha}\lambda,\ e^{-i\alpha}\psi,\ \phi) \\ U(1)_R:&\quad (A_\mu,\lambda,\psi,\phi)\to(A_\mu,\ e^{i\alpha}\lambda,\ e^{i\alpha}\psi,\ e^{2i\alpha}\phi) \end{align*}</p> <p>hypermultiplet: \begin{align*} U(1)_J:&\quad (\psi_q,q,\tilde q^\dagger,\psi^\dagger_{\tilde q})\to(\psi_q,\ e^{i\alpha}q,\ e^{-i\alpha}\tilde q^\dagger,\ \psi^\dagger_{\tilde q}) \\ U(1)_R:&\quad (\psi_q,q,\tilde q^\dagger,\psi^\dagger_{\tilde q})\to(e^{-i\alpha}\psi_q,\ q,\ \tilde q^\dagger,\ e^{i\alpha}\psi^\dagger_{\tilde q}) \end{align*}</p> <p>最後に、vector multipletのカイラル超場・ベクトル超場の中にある補助場をそれぞれ$F,D$、hypermultipletのカイラル超場の中にある補助場をそれぞれ$F_q,F_{\tilde q}$とすると、変換性は以下のようになります。 \begin{align*} U(1)_J:&\quad F\to e^{-2i\alpha}F,\quad D\to D, \qquad F_q\to e^{-i\alpha}F_q,\quad F_{\tilde q}\to e^{-i\alpha}F_{\tilde q} \\ U(1)_R:&\quad F\to F,\quad D\to D, \qquad F_q\to e^{-2i\alpha}F_q,\quad F_{\tilde q}\to e^{-2i\alpha}F_{\tilde q} \end{align*} なお、ここで述べたR対称性は古典的なものであり、$U(1)_R$は量子効果によるアノマリーによって一般に破れます。これはSeiberg-Witten理論において、プレポテンシャルの形を制限する重要な手がかりとなります。</p>