6. おわりに

<p>今回は、アカレポのデモとして$4$次元超対称ゲージ理論の入門的な解説を行いました。 Coleman-Mandulaの定理から出発して超対称代数を構成し、その表現論からmassless/massive多重項とBPS boundを導きました。 続いて$\mathcal{N}=1$超空間・超場の形式を用いて超対称ラグランジアンを構成する方法を示し、最後に$\mathcal{N}=2$超対称ゲージ理論が、プレポテンシャル$\mathcal{F}(\Psi)$という一つの正則関数によって完全に記述されることを見ました。 ゲージ結合定数と$\vartheta$角が複素結合定数$\tau$にまとめられること、スカラーポテンシャルの平坦方向がCoulomb branchというモジュライ空間をなすこと、そしてR対称性が理論を強く制約することも併せて見てきました。</p> <p>これらはいずれも、Seiberg-Witten理論における低エネルギー有効作用の解析において中心的な役割を果たします。 古典的なプレポテンシャルに摂動論的・非摂動論的な量子補正がどのように加わり、それがモジュライ空間上でどのような構造（Seiberg-Witten曲線、BPS状態の質量公式、電磁双対性など）を生み出すかは、本稿で扱った基礎の先にある豊かな研究対象です。</p> <p>また本記事では、$\mathcal{N}=2$までを扱い、$\mathcal{N}=4$超対称Yang-Mills理論には立ち入りませんでした。 $\mathcal{N}=4$理論はベータ関数が厳密にゼロとなり共形対称性を持つ、4次元で最も対称性の高いゲージ理論です。 この理論は$\mathrm{AdS}_5\times S^5$上の超弦理論との等価性を主張するAdS/CFT対応[<a href="#cite-7" class="latex-cite-link">7</a>]の舞台となり、強結合領域の場の量子論を重力側から調べる道を開きました。 本記事で扱った超対称代数の構成やその表現論、超場によるラグランジアンの構成といった道具立ては、$\mathcal{N}=4$理論やAdS/CFT対応を学ぶ際にもそのまま土台となります。</p> <p>なお冒頭にも述べたとおり、本記事は古いノートを再構成したものですので、記述の不足や誤りがあるかもしれません。お気づきの点がありましたら、お気軽にご指摘いただけますと幸いです。 最後になりますが、本記事はアカレポ上で数式や文献引用を含む解説記事がどの程度書けるかを試したものでもあります。同様の記事を書かれる際の参考になれば幸いです。</p>