マクスウェルの方程式とゲージ対称性 - 電磁気学とゲージ理論

<p>真空中のマクスウェルの方程式は次の4つの方程式によって記述されます。 \begin{align} \mathrm{rot}\, \mathbf{E}(\mathbf{x},t)&=- \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{x},t)}{\partial t}, \label{eq:faraday} \\ \mathrm{div}\, \mathbf{B}(\mathbf{x},t) &= 0, \label{eq:no-monopole} \\ \frac{1}{\mu _0} \mathrm{rot}\, \mathbf{B}(\mathbf{x},t) &= \mathbf{i}(\mathbf{x},t) + \varepsilon _0\frac{\partial \mathbf{E}(\mathbf{x},t)}{\partial t}, \label{eq:ampere-maxwell} \\ \mathrm{div}\, \mathbf{E}(\mathbf{x},t) &= \frac{\rho (\mathbf{x},t)}{\varepsilon _0}. \label{eq:gauss-law} \end{align} ここで$\mathbf{E}$は電場、$\mathbf{B}$は磁場、$\mathbf{i}$は電流、$\varepsilon _0$は真空の誘電率、$\mu _0$は真空の透磁率です。この電場と磁場は、ベクトルポテンシャル$\mathbf{A}(\mathbf{x},t)$とスカラーポテンシャル$\phi (\mathbf{x},t)$を使うと、 \begin{equation} \label{eq:def-potentials} \begin{split} \mathbf{E}(\mathbf{x},t)&=-\frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{x},t) }{\partial t}-\mathrm{grad}\, \phi (\mathbf{x},t), \\ \mathbf{B}(\mathbf{x},t)&=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}(\mathbf{x},t), \end{split} \end{equation} と表わせます。実際に(\ref{eq:def-potentials})の1式目は(\ref{eq:faraday})を満たし、2式目は(\ref{eq:no-monopole})を満たします。また(\ref{eq:ampere-maxwell})と(\ref{eq:gauss-law})を使うと、$\mathbf{A}$と$\phi $を決める方程式が導かれ、まとめると次のようになります。 \begin{equation} \label{eq:potential-eqs} \begin{split} \mathrm{grad}\Bigl( \mathrm{div}\, \mathbf{A}(\mathbf{x},t)+\varepsilon _0\mu _0 \frac{\partial \phi (\mathbf{x},t)}{\partial t} \Bigr) +\Bigl( \varepsilon _0\mu _0 \frac{\partial ^2}{\partial t^2} -\bigtriangleup \Bigr) \mathbf{A}(\mathbf{x},t) &=\mu _0\mathbf{i}(\mathbf{x},t), \\ -\mathrm{div}\Bigl( \frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{x},t)}{\partial t} \Bigr) -\bigtriangleup \phi (\mathbf{x},t) &=\frac{\rho (\mathbf{x},t)}{\varepsilon _0}. \end{split} \end{equation}</p> <p>(\ref{eq:def-potentials})と(\ref{eq:potential-eqs})の方程式系は、マクスウェルの方程式系と内容的にまったく同じです。そのため(\ref{eq:potential-eqs})の2式を解いて$\mathbf{A},\phi $を求めてから、その結果を(\ref{eq:def-potentials})に代入することによって$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$を求めることもできます。</p> <p>ただ式(\ref{eq:potential-eqs})は4個の未知関数$\mathbf{A}$と$\phi $に対する4個の連立方程式であり、$\mathbf{A}$と$\phi $が複雑にからみあっています。そのため、これを直接厳密に解くことは難しく、$\mathbf{A}$と$\phi $の完全な解を探すことは現実的ではありません。</p> <p>しかし電磁ポテンシャルの方程式系(\ref{eq:def-potentials})と(\ref{eq:potential-eqs})にはゲージ対称性と呼ばれる対称性があります。この対称性を利用して電磁ポテンシャルの方程式を目的に合った明白な形式にすれば、電磁場の性質を調べることができます。以下では、このゲージ対称性についてみていきます。</p> <h2>2.1 ゲージ対称性</h2> <p>任意の微分可能な関数$u(\mathbf{x},t)$を用いて、ゲージ変換(gauge transformation) \begin{equation} \label{eq:gauge-transform} \begin{split} \mathbf{A}'(\mathbf{x},t)&=\mathbf{A}(\mathbf{x},t)+\mathrm{grad}\, u(\mathbf{x},t), \\ \phi '(\mathbf{x},t)&=\phi (\mathbf{x},t)-\frac{\partial }{\partial t} u(\mathbf{x},t), \end{split} \end{equation} を導入しましょう。 (\ref{eq:def-potentials})に代入すると、 \begin{align*} \mathbf{E}'&:= -\frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t} -\mathrm{grad}\, \phi ' \\ &= -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\mathrm{grad}\frac{\partial u}{\partial t} -\mathrm{grad}\, \phi +\mathrm{grad}\frac{\partial u}{\partial t} \\ &=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} -\mathrm{grad}\, \phi \\ &= \mathbf{E}, \\ \mathbf{B}'&:=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}'\\ &= \mathrm{rot}\, \mathbf{A}+\mathrm{rot}\, \mathrm{grad}\, u \\ &= \mathrm{rot}\, \mathbf{A} \\ &= \mathbf{B}, \end{align*} となるため、場の量$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$としてはまったく同じものが得られます。言い換えると、(\ref{eq:gauge-transform})のゲージ変換に対して場の量$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$は不変です。また(\ref{eq:potential-eqs})の方程式もゲージ変換に対して不変であり、この性質をゲージ対称性(あるいはゲージ不変性)と呼びます。</p> <h2>2.2 ゲージ固定</h2> <p>電磁ポテンシャルは$\mathbf{A}$の3成分と$\phi $の1成分を合わせた4成分ですが、そこには任意関数$u$が1つ分の自由度が残されており、その自由度は観測される場の量$\mathbf{E},\mathbf{B}$をまったく変えません。したがって、条件を1つ課してこの自由度を固定(ゲージ固定)してしまえば、独立に決めるべきものは残り3成分分になります。</p> <p>どんな条件を課しても得られる$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$は同じなのですから、解析したい目的にいちばん都合のよい条件を選んでしまってかまいません。つまり荷電粒子の運動が$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$だけで決まる古典論の範囲では、ゲージ固定は物理の中身を変えずに(\ref{eq:potential-eqs})を目的に合った形へ書き換えるための数学的操作として見なせます。</p> <div class="callout callout-note"><p class="callout-title">NOTE</p> <p>ただしこれは、電磁ポテンシャルが計算上の便宜にすぎないという意味ではありません。第7章でみるように、電磁場と物質との結合はラグランジアン密度の中で$A^\mu $を通して書かれ、その項がゲージ不変であるためには電荷保存則が要請されます。またゲージ不変性は、電磁場に質量項を許しません。</p> <p>また量子論にまで踏み込むと、アハラノフ・ボーム効果に代表されるように、電磁ポテンシャル$\mathbf{A}$と$\phi $が基本的な量だと考えないと説明できない現象があります。が、本ノートでは古典論の範囲に絞り解説する関係上、割愛させていただきます。アハラノフ・ボーム効果について解説している日本語の教科書としては、[<a href="#cite-2" class="latex-cite-link">2</a>,<a href="#cite-3" class="latex-cite-link">3</a>]などがあります。興味があればぜひご一読ください。</p> </div> <p>さて、ゲージ固定の代表的な選び方として、クーロンゲージとローレンツゲージの2つが知られています。次章と次々章では、この2つのゲージについてそれぞれ詳しく見ていこうと思います。</p>