7. ラグランジアン密度の構成

<p>前章で得た共変な場の方程式(\ref{eq:maxwell-covariant})は、実は1つのラグランジアン密度から変分原理によって導くことができます。 この章では、電磁場の古典的なラグランジアン密度を構成し、その性質を調べます。</p> <h2>7.1 ラグランジアン密度</h2> <p>場の方程式(\ref{eq:potential-wave-covariant})は、次のラグランジアン密度から変分原理によって導くことができます。 \begin{equation} \label{eq:lagrangian-density} \mathcal{L} =-\frac{1}{4\mu _0}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)- s_\mu (x) A^\mu (x). \end{equation} すなわち、4つの成分$A^\mu (x)$をそれぞれ独立な場として扱い、オイラー・ラグランジュ方程式 \begin{equation*} \partial _\alpha \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\alpha A_\beta )} \right) -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\beta }=0 \end{equation*} を適用します。 実際に計算すると、 \begin{equation*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial _\alpha A_\beta )}=-\frac{1}{\mu _0}F^{\alpha \beta }(x), \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\beta }=-s^\beta (x) \end{equation*} となるため、オイラー・ラグランジュ方程式は \begin{equation*} -\frac{1}{\mu _0}\partial _\alpha F^{\alpha \beta }(x)+s^\beta (x)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \partial _\alpha F^{\alpha \beta }(x)=\mu _0 s^\beta (x) \end{equation*} となり、これは(\ref{eq:maxwell-covariant})と(添字の付け替えのもとで)一致します。</p> <p>つまり、マクスウェルの方程式は、(\ref{eq:lagrangian-density})を作用積分に持つ場の理論のオイラー・ラグランジュ方程式として再現されます。</p> <h2>7.2 ゲージ不変性の確認</h2> <p>ラグランジアン密度(\ref{eq:lagrangian-density})がゲージ変換(\ref{eq:four-vector-gauge-transform})のもとで不変であることを確認します。 第1項$F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$は先に見た通りそのまま不変です。 第2項は \begin{equation*} s_\mu A^\mu \rightarrow s_\mu A^\mu +s_\mu \partial ^\mu \Lambda =s_\mu A^\mu +\partial ^\mu (s_\mu \Lambda )-(\partial ^\mu s_\mu ) \Lambda \end{equation*} のように変化しますが、右辺最後の項は電荷保存則(\ref{eq:charge-conservation})によりゼロになり、残る$\partial ^\mu (s_\mu \Lambda )$は全微分項であるため、作用積分$S=\int d^4x \, \mathcal{L}$には(場が無限遠で十分速く減衰するという境界条件のもとで)寄与しません。 したがって、作用$S$はゲージ変換のもとで不変となります。</p> <h2>7.3 ゲージ場の質量</h2> <p>もし電磁場に質量を持たせようとすると、ラグランジアン密度(\ref{eq:lagrangian-density})に、いわゆるプロカ項 \begin{equation*} \mathcal{L}_{mass}=\frac{k}{2} A_\mu (x) A^\mu (x) \qquad (k>0\text{は定数}) \end{equation*} を加える必要があります。 しかしこの項は、ゲージ変換$A_\mu \rightarrow A_\mu +\partial _\mu \Lambda $のもとで \begin{equation*} A_\mu A^\mu \rightarrow A_\mu A^\mu +2A^\mu \partial _\mu \Lambda +\partial _\mu \Lambda \partial ^\mu \Lambda \end{equation*} のように変化してしまい、明らかに不変ではありません。 つまり、ゲージ不変性を要求する限り、電磁場に質量項を加えることはできません。 これは、電磁波が真空中を質量ゼロで(すなわち光速$c$で)伝わるという事実に対応する、古典的な場の理論の段階ですでに現れるゲージ不変性の重要な帰結です。</p>