6. ローレンツ共変な方程式

<p>前章までで、電磁気学がゲージ対称性とローレンツ対称性という2つの対称性を矛盾なく満たしていることを確認しました。 この章では、これらの対称性が明白な形で現れるよう、マクスウェルの方程式そのものを4元ベクトルによる共変な形に書き直します。</p> <h2>6.1 電磁場テンソル</h2> <p>第5章で導入した4元ポテンシャル$A^\mu (x)=(\phi (x)/c,\mathbf{A}(x))$を用いて、電磁場テンソルを \begin{equation} \label{eq:emf-tensor} \begin{split} F^{\mu \nu}(x) &=\partial ^\mu A^\nu (x)-\partial ^\nu A^\mu (x) \\ &=\begin{pmatrix} 0 &-E_x/c &-E_y/c &-E_z/c \\ E_x/c&0&-B_z&B_y \\ E_y/c&B_z&0&-B_x\\ E_z/c&-B_y&B_x&0 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation} と定義します。</p> <p>この成分が(\ref{eq:def-potentials})の$\mathbf{E},\mathbf{B}$に一致することは、(\ref{eq:differential-operator})と(\ref{eq:four-vector-potential})を代入して直接確かめることができます。 $F^{\mu \nu }$が、前章のゲージ変換(\ref{eq:four-vector-gauge-transform})のもとで不変であることは、偏微分の可換性 \begin{equation*} \partial ^\mu \partial ^\nu \Lambda =\partial ^\nu \partial ^\mu \Lambda \end{equation*} からただちに従います。</p> <h2>6.2 共変な場の方程式</h2> <p>この電磁場テンソルと4元電流$s^\mu (x)=(c\rho (x),\mathbf{i}(x))$を用いて、マクスウェルの方程式(\ref{eq:faraday})～(\ref{eq:gauss-law})を書き直すと、 \begin{align} \partial _\nu F^{\nu \mu }(x)&=\mu _0 s^\mu (x), \label{eq:maxwell-covariant} \\ \partial ^\lambda F^{\mu \nu }(x)+\partial ^\mu F^{\nu \lambda }(x)&+\partial ^\nu F^{\lambda \mu }(x)=0, \label{eq:bianchi-identity} \end{align} となります。 $A^\mu (x)$を用いて$F^{\mu \nu }$を定義した時点で(\ref{eq:bianchi-identity})は恒等的に満たされ、独立な方程式は(\ref{eq:maxwell-covariant})のみとなります。 これを4元ポテンシャルで書き直すと、 \begin{equation} \label{eq:potential-wave-covariant} \Box A^\mu (x)- \partial ^\mu (\partial _\nu A^\nu (x))=\mu _0 s^\mu (x) \end{equation} となります。 ここで \begin{equation*} \Box \equiv \frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2} -\nabla ^2 \end{equation*} です。 この式は、第4章のローレンツゲージのもとでの方程式(\ref{eq:wave-eqs-lorenz-gauge})を4元的にまとめたものに他なりません。 実際、ローレンツゲージ$\partial _\nu A^\nu =0$のもとでは(\ref{eq:potential-wave-covariant})は$\Box A^\mu =\mu _0 s^\mu $となり、 \begin{align*} \Box \phi &=\mu _0 c^2 \rho =\frac{\rho}{\varepsilon _0} , \\ \Box \mathbf{A}&=\mu _0\mathbf{i} , \end{align*} となって、(\ref{eq:wave-eqs-lorenz-gauge})に一致します。</p> <h2>6.3 電荷保存則</h2> <p>(\ref{eq:maxwell-covariant})の両辺に対して、さらに$\partial _\mu $をかけて縮約すると、 \begin{equation*} \partial _\mu \partial _\nu F^{\nu \mu }(x)=\mu _0\partial _\mu s^\mu (x) \end{equation*} となりますが、左辺は対称な演算子$\partial _\mu \partial _\nu $と反対称なテンソル$F^{\nu \mu }$の縮約であるため、恒等的にゼロになります。 $\mu _0\neq 0$であるため、 \begin{equation} \label{eq:charge-conservation} \partial _\mu s^\mu (x)=0 \end{equation} という電荷保存則(連続の方程式)が、場の方程式(\ref{eq:maxwell-covariant})が矛盾なく成り立つための必要条件として導かれます。 言い換えると、電流$s^\mu $を勝手に与えてよいわけではなく、それが(\ref{eq:charge-conservation})を満たしていなければ、そもそも(\ref{eq:maxwell-covariant})を満たす$A^\mu $は存在しません。</p> <p>以上のように、ゲージ対称性とローレンツ対称性を満たす場の方程式(\ref{eq:maxwell-covariant})が得られました。 次章では、この方程式を変分原理から導く1つのラグランジアン密度を構成します。</p>